[bs] Review on A chaotic system with only one stable equilibrium

By: 

Xiong Wang and Guanrong Chen

Department of Electronic Engineering, City University of Hong Kong, Hong Kong SAR, China.

If you are given a simple three-dimensional autonomous quadratic system that has only one stable equilibrium, what would you predict its dynamics to be, stable or periodic? Will it be surprising if you are shown that such a system is actually chaotic? Although chaos theory for three-dimensional autonomous systems has been intensively and extensively studied since the time of Lorenz in the 1960s, and the theory has become quite mature today, it seems that no one would anticipate a possibility of finding a three-dimensional autonomous quadratic chaotic system with only one stable equilibrium. The discovery of the new system, to be reported in this Letter, is indeed striking because for a three-dimensional autonomous quadratic system with a single stable node-focus equilibrium, one typically would anticipate non-chaotic and even asymptotically converging behaviors. Although the new system is of non-hyperbolic type, therefore the familiar ˇ Si’lnikov homoclinic criterion is not applicable, it is demonstrated to be chaotic in the sense of having a positive largest Lyapunov exponent, a fractional dimension, a continuous broad frequency spectrum, and a period-doubling route to chaos.

Sumber artikel : download paper on arxiv

Setelah kita berlatih mengenai chaotic map dalam pembahasan sebelumnya. Ayo kita coba memahami  problem yang berserakan dalam jurnal-jurnal ilmiah. Here we go. Paper Xiong Wang dan Guanrong Chen membicarakan suatu sistem yang berbentuk :

dengan a adalah parameter yang ditentukan kemudian. Mengingat kita masih beginer (hehe), kita coba aja memproduksi hasil-hasil yang telah diperoleh tersebut. Sejauh mana kita bisa memfollow mereka ? That is our problem ;). Jangan lupa, x dot artinya dx/dt, y dot adalah dy/dt dan z dot adalah dz/dt.

Adapun susunan program yang bisa kita buat untuk melihat phase portrait dalam sistem persamaan di atas adalah sebagai berikut.

Untuk kasus a = 0:

File 1 : Persamaan sistem :

function dxdt=china(t,x);

% Xiong Wang dan Guanrong Chen

a = 0;

dxdt=[ x(2).*x(3)+a;

x(1).^2-x(2);

 1-4.*x(1)];

File 2 : compiler untuk menjalankan iterasi

clear all           % a clear start

t=0:0.01:100;       % time window

y0=[0.25;0.4;3];    % initial conditions

[t,Y] = ode45('china',t,y0);

%figure

%plot(t,Y(:,1),'LineWidth',2.5)       % t vs X-axis

%plot(Y(:,1),Y(:,3),'LineWidth',2.5)  % X-axis vs Z-axis

%plot(Y(:,1),Y(:,2),'LineWidth',2.5)  % X-axis vs Y-axis

%plot(Y(:,2),Y(:,3),'LineWidth',2.5)  % Y-axis vs Z-axis

plot3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3),'LineWidth',2.5) % X-Y-Z-axis

%xlabel('time')

xlabel('X-AXIS')

ylabel('Y-AXIS')

zlabel('Z-AXIS')

view([5,21])  %diaktifkan hanya untuk plot 3 dimensi

grid on

%figure

%comet3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))

Hasil komputasinya tampak dalam gambar di bawah ini :

dan

Untuk a = 0.006, file 1 kita modifikasi menjadi :

function dxdt=china(t,x);

% Xiong Wang dan Guanrong Chen

a = 0.006;

dxdt=[ x(2).*x(3)+a;

x(1).^2-x(2);

 1-4.*x(1)];

File 2 tidak mengalami modifikasi. Hasil komputasi memakai a = 0.006 tampak dalam gambar di bawah ini.

dan

Untuk figure-figure yang lain silakan dicoba sendiri ya. Aye juga belum bisa soalnya :D.