[bs] Review on Chaotic Map

Dalam matematika, peta-chaos adalah peta (fungsi evolusi) yang menunjukkan beberapa jenis perilaku chaos. Peta ini dapat berparameterkan waktu secara diskrit ataupun kontinu. Peta diskrit biasanya mengambil bentuk fungsi iterasi. Peta chaos sering muncul dalam studi sistem dinamis.

Peta chaotic sering menghasilkan fraktal. Meskipun fraktal dapat dibangun oleh prosedur iterasi, beberapa fraktal yang dipelajari adalah berupa suatu himpunan dan bukan fungsi pemetaan yang menghasilkan mereka. Hal ini sering terjadi karena ada beberapa prosedur iteratif yang berbeda untuk menghasilkan fraktal yang sama. Daftar chaotic map :

Map	Time domain	Space domain	Number of space dimensions	Also known as
Arnold's cat map	discrete	real	2
Baker's map	discrete	real	2
Bogdanov map
Chen-Lee system	continuous	real	3
Chossat-Golubitsky symmetry map
Circle map	discrete	real	1
Complex quadratic map	discrete	complex	1
Complex squaring map	discrete	complex	1
Complex Cubic map
Degenerate Double Rotor map
Double Rotor map
Duffing map	discrete	real	2
Duffing equation	continuous	real	1
Dyadic transformation	discrete	real	1	2x mod 1 map, Bernoulli map, doubling map, sawtooth map
Exponential map	discrete	complex	2
Gauss map	discrete	real	1	mouse map, Gaussian map
Generalized Baker map
Gingerbreadman map	discrete	real	2
Gumowski/Mira map
Hénon map	discrete	real	2
Hénon with 5th order polynomial
Hitzl-Zele map
Horseshoe map	discrete	real	2
Ikeda map	discrete	real	2
Interval exchange map	discrete	real	1
Kaplan-Yorke map	discrete	real	2
Linear map on unit square
Logistic map	discrete	real	1
Lorenz attractor	continuous	real	3
Lorenz system's Poincare Return map
Lozi map	discrete	real	2
Nordmark truncated map
Pomeau-Manneville maps for intermittent chaos	discrete	real	1 and 2	Normal-form maps for intermittency (Types I, II and III)
Pulsed rotor
Quasiperiodicity map
Rabinovich-Fabrikant equations	continuous	real	3
Random Rotate map
Rössler map	continuous	real	3
Shobu-Ose-Mori piecewise-linear map	discrete	real	1	piecewise-linear approximation for Pomeau-Manneville Type I map
Sinai map
Symplectic map
Standard map, Kicked rotor	discrete	real	2	Chirikov standard map, Chirikov-Taylor map
Tangent map
Tent map	discrete	real	1
Tinkerbell map	discrete	real	2
Triangle map
Van der Pol oscillator	continuous	real	1
Zaslavskii map	discrete	real	2
Zaslavskii rotation map

Kita akan me-review beberapa chaotic map, antara lain : Lorentz system, Henon map, Rossler attractor, dan Van der Pol oscillator. Mengingat Lorentz system dan Henon map sudah pernah kita bahas maka yang akan kita bahas selanjutnya adalah Rossler attractor dan Van der Pol oscillator.

Persamaan Rossler attractor :

dengan parameter: a = 0.2, b = 0.2, dan c = 5.7. Namun parameter yang sering dipakai sekarang ini adalah a = 0.1, b = 0.1 dan c = 14. Silakan dicoba sebagai latihan :D.

Untuk melihat phase portrait dari Rossler attractor kita akan menggunakan metode numerik yang dinamakan Runge-Kutta. Bisa juga memakai ode45 seperti biasa, silakan dicoba sebagai latihan. Berikut ini list programnya :

clear all;

n = 0;

x = 0;     %initial value sumbu-x

y = 0;     %initial value sumbu-y

z = 0;     %initial value sumbu-z

m = -2;    %parameter

a = 0.2;   %parameter

b = 0.2;   %parameter

c = 5.7;   %parameter

while n <= 50000;

    n = n+1;    

    dt =10^m;

    x1 = x;

    y1 = y;

    z1 = z;

    

    % fungsi untuk x

    kx1 = (-y1-z1).*dt;

    kx2 = (-y1-z1+0.5*kx1).*dt;

    kx3 = (-y1-z1+0.5*kx2).*dt;

    kx4 = (-y1-z1+kx3).*dt;

    x = x1+(kx1+2*kx2+2*kx3+kx4)./6;  

    % fungsi untuk y

    ky1 = (x1+a*y1).*dt;

    ky2 = (x1+a*(y1+0.5*ky1)).*dt;

    ky3 = (x1+a*(y1+0.5*ky2)).*dt;

    ky4 = (x1+a*(y1+ky3)).*dt;

    y = y1+(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4)./6; 

    

    % fungsi untuk z

    kz1 = (b+z1*(x1-c)).*dt;

    kz2 = (b+(z1+0.5*kz1)*(x1-c)).*dt;

    kz3 = (b+(z1+0.5*kz2)*(x1-c)).*dt;

    kz4 = (b+(z1+kz3)*(x1-c)).*dt;

    z = z1+(kz1+2*kz2+2*kz3+kz4)./6; 

    

    xaxis(n) = x;

    yaxis(n) = y;

    zaxis(n) = z;

end

    

plot3(xaxis,yaxis,zaxis,'b-')

legend('Rossler system using Runge-Kutta')

xlabel('x-axis')

ylabel('y-axis')

zlabel('z-axis')

Hasil komputasi tampak dalam gambar di bawah ini.

Persamaan Van der Pol oscillator :

dengan nilai parameter miu bervariasi dari 0.01 sampai 4.0. Untuk melihat phase portrait Van der Pol oscillator, kita akan memakai ode45 sebagai berikut.

File 1:  untuk menuliskan fungsi Van der Pol oscillator

function dxdt=vanderpol(t,x);

% Van der Pol oscillator

miu = 1.5;

dxdt=[x(2);

    miu.*(1-x(1).^2).*x(2)-x(1)]; 

File 2: compiler untuk menjalankan iterasi

clear all    % a clear start

t=[0 100];   % time window

y0=[0;0.2];  % initial conditions x0,v0

[t,Y] = ode45('vanderpol',t,y0);

figure

%plot3(t,Y(:,1),Y(:,2))

plot(Y(:,1),Y(:,2))

%plot(t,Y(:,1))

%view([3,16])

grid on

figure

%comet3(Y(:,1),Y(:,2),Y(:,3))

comet(Y(:,1),Y(:,2))

%comet(t,Y(:,1))

%xlabel('time')

%ylabel('y-axis')

%zlabel('z-axis')

Hasil komputasi tampak dalam gambar di bawah ini.