[bs] Analisis Stabilitas Absorbing Boundary Conditions Sederhana pada Persamaan Schrodinger Linear Gayut Waktu

Sekarang kami berkonsentrasi untuk menyelidiki sejauh mana kesetabilan ABC's yang telah kami susun sebelumnya. Secara khusus kami menggali lebih dalam hubungan antara lambda, ketebalan ABC's dan konstanta beta pada persamaan Schrodinger termodifikasi. Prosedur analisis kami barangkali tidak akurat namun sebagai alternatif baru yang jauh lebih sederhan dari \cite{frederick}\cite{fevens}, ide yang kami susun berikut ini layak dicoba. 

Persamaan Schrodinger dalam notasi finte difference yang telah mengalami modifikasi dituliskan sebagai berikut :

   

                                                                                                                       (1)

dengan

                                                                                                                        (2)

disebut juga dengan faktor redaman artifisial. Pada lambda = 10 nm, nilai beta pada percobaan numerik sebelumnya telah ditemukan sebesar 0.015 dengan ketebalan ABC's 20 nm. Pertama, kami berasumsi bahwa ketebalan ABC's berbanding lurus dengan lambda. Singkatnya, setelah melihat fakta di atas, kami berasumsi bahwa

                                                                                                                         (3)

dengan abc adalah ketebalan ABC's. Menggunakan Pers (2) dan (3) kami menguji kemampuan menyerap ABC's dan menemukan kenyataan bahwa ABC's masih dapat menyerap dengan baik pada lambda = 10 nm sampai lambda = 65 nm. Pada lambda = 65 ketebalan abc menjadi 130 nm yang cukup memakan tempat sehingga dengan terpakasa kami harus mengorbankan syarat pokok ABC's nomer 3.

Simulasi berikut ini dapat dijadikan bukti bahwa ABC's yang kami susun bekerja dengan baik. Untuk membuktikan bahwa kemampuan menyerap ABC's bergantung linear terhadap lambda, kita dapat pilih secara acak nilai lambda pada rentang antara 10 nm sampai dengan 65 nm. Namun, agar lebih sistematis, kami akan tampilkan simulasi pada panjang gelombang minimum yakni lambda = 10 nm, kemudian nilai tengah rentang panjang gelombang yakni lambda = 37.5 nm dan pada panjang gelombang maksimum yakni lambda = 65 nm. 

Gambar 1. Kronologi perambatan gelombang de Broglie dengan lambda = 10 nm menuju tepi kanan domain komputasi. Setelah 136 fs gelombang terserap dengan sempurna oleh lapisan ABC's yang diindikasikan oleh nilai nol pada E_tot nya.

Gambar 2. Kronologi perambatan gelombang de Broglie dengan lambda = 37 nm menuju tepi kanan domain komputasi. Setelah 729 fs gelombang terserap dengan sempurna oleh lapisan ABC's yang diindikasikan oleh nilai nol pada E_tot nya.

Gambar 3. Kronologi perambatan gelombang de Broglie dengan lambda = 65 nm menuju tepi kanan domain komputasi. Setelah 1250 fs gelombang terserap dengan sempurna oleh lapisan ABC's yang diindikasikan oleh nilai nol pada E_tot nya.

Selanjutnya, untuk mengetahui kesetabilan ABC's pada panjang gelombang di bawah 10 nm, kami telah menyelidiki sedikit demi sedikit panjang gelombang dibawah 10 nm. Akhirnya, kami memperoleh kondisi numerik bahwa agar diperoleh kemampuan menyerap optimal pada rentang panjang gelombang 5 <= lambda < 10 nm, Pers (3) perlu didefinisikan ulang menjadi

                                                                                      

                                                                                                               (4)

Untuk membuktikan bahwa ABC's stabil dan bergantung linear terhadap lambda, kami akan simulasikan perambatan gelombang de Broglie pada rentang panjang gelombang 5<= lambda < 10. Agar sistematis, kami memilih panjang gelombang minimum lambda = 5 nm, panjang gelombang maksimum lambda = 9.9 nm dan panjang gelombang pertengahan yakni lambda = 7.45 nm.

Gambar 4. Kronologi perambatan gelombang de Broglie dengan lambda = 5 nm menuju tepi kanan domain komputasi. Setelah 79 fs gelombang terserap dengan sempurna oleh lapisan ABC's yang diindikasikan oleh nilai nol pada E_tot nya.

Gambar 5. Kronologi perambatan gelombang de Broglie dengan lambda = 7.45 nm menuju tepi kanan domain komputasi. Setelah 104 fs gelombang terserap dengan sempurna oleh lapisan ABC's yang diindikasikan oleh nilai nol pada E_tot nya.

Gambar 6. Kronologi perambatan gelombang de Broglie dengan lambda = 9.9 nm menuju tepi kanan domain komputasi. Setelah 136 fs gelombang terserap dengan sempurna oleh lapisan ABC's yang diindikasikan oleh nilai nol pada E_tot nya.

Bagaimanapun, komputer memunyai batas ketelitian maksimum untuk menampilkan simulasi. Sebagai contoh, apabila kita paksa melakukan simulasi pada lambda < 3 nm, fungsi gelombang tak dapat melakukan pergeseran dalam problem space, atau dengan kata lain hanya dapat berosilasi ditempat. Untuk itu yang perlu dilakukan adalah melakukan skala ulang yakni dibawah ukuran nano meter. Pada lambda = 3 nm, kami masih dapat menampilkan simulasi menggunakan ABC's. Meskipun demikian kami tidak menyarankan bekerja dengan tingkat panjang gelombang sekecil itu tanpa melakukan sekala ulang. 

Referensi

Frederick Ira Moxley III, Fei Zhu dan Weizhong Dai, A Generalize FDTD Method with Absorbing Boundary Condition for Solving a Time-Dependent Linear Schrodinger Equation, American Journal of Computational Mathematics, 2, 163 - 172, 2012. 

Thomas Fevens dan Hong Jiang, Absorbing Boundary Conditions for The Schrodinger Equation, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol. 21, No. 1, 1999, Hal. 255 - 282.